题目描述

回到家中的猫猫把三桶鱼全部转移到了她那长方形大池子中，然后开始思考：到底要以何种方法吃鱼呢（猫猫就是这么可爱，吃鱼也要想好吃法 ^_*）。她发现，把大池子视为01矩阵（0表示对应位置无鱼，1表示对应位置有鱼）有助于决定吃鱼策略。

在代表池子的01矩阵中，有很多的正方形子矩阵，如果某个正方形子矩阵的某条对角线上都有鱼，且此正方形子矩阵的其他地方无鱼，猫猫就可以从这个正方形子矩阵“对角线的一端”下口，只一吸，就能把对角线上的那一队鲜鱼吸入口中。

猫猫是个贪婪的家伙，所以她想一口吃掉尽量多的鱼。请你帮猫猫计算一下，她一口下去，最多可以吃掉多少条鱼？

输入输出格式

输入格式：

 

有多组输入数据，每组数据：

第一行有两个整数n和m（n,m≥1），描述池塘规模。接下来的n行，每行有m个数字（非“0”即“1”）。每两个数字之间用空格隔开。

对于30%的数据，有n,m≤100

对于60%的数据，有n,m≤1000

对于100%的数据，有n,m≤2500

 

输出格式：

 

只有一个整数——猫猫一口下去可以吃掉的鱼的数量，占一行，行末有回车。

 

输入输出样例

输入样例#1：

4 60 1 0 1 0 00 0 1 0 1 01 1 0 0 0 10 1 1 0 1 0

输出样例#1：

3

说明

右上角的

1 0 0 0 1 0 0 0 1

解法一

这道题虽然是动态规划，但也有非动态规划的做法，看到题解里没有这种做法，就给大家发一下（虽然慢了一点，但比较容易理解）：用前缀和、差分，首先对矩阵求前缀和，之后从（0,0）向（n，m）扫描，每扫描到一个点，就向这个点的左上方（i-k,j-k，1<=k<=n）

扫描，如果扫描到0或从（i-k，j-k）到（i，j）这个矩阵的差分（即其中鱼的个数）大于k+1（矩阵对角线长度）则终止扫描，此时k就是从点（i，j）向左上方能吃到的鱼的数量，扫描完之后将整个矩阵左右翻转再进行一次扫描，两次扫描扫到的最大值就是结果。

代码：

1 #include
      
        2 #include
       
         3 #include
        
          4 #include
         
           5 #define min3(a,b,c) min(a,min(b,c)) 6 using namespace std; 7 int ans,a[2505][2505],b[2505][2505],sum[2505][2505],N,M,x,y; 8 void zheng(){ 9     memset(sum,0,sizeof(sum));10     for(int i=1;i<=N;i++){11         for(int j=1;j<=M;j++)12             sum[i][j]=sum[i][j-1]+a[i][j];13         for(int j=1;j<=M;j++)14             sum[i][j]+=sum[i-1][j];15     }16     17     for(int i=1;i<=N;i++)18         for(int j=1;j<=M;j++)19             if(a[i][j]==1){20                 int k=1;21                 while((k
         
        
       
      

解法二

动态规划1，f[i][j]表示以(i,j)为顶点的最大子矩阵中能吃到的鱼的条数。

f[i][j]可以从f[i-1][j-1]或f[i-1][j+1]转移而来，取其中最大值。

每次转移需要横向和纵向检查0的个数，取两者最小值k即得到了最大子矩阵中鱼的个数。

C代码：

1 #include
      
        2 int n,m,i,j,k,k1,k2,max,temp,f[2501][2501]; 3 int main(void) 4 { 5     while(scanf("%d%d",&n,&m)==2) 6     { 7         max=0;//答案  8         for(i=1;i<=n;i++) 9         {10             for(j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&f[i][j]);//先输入一行，因为下面要横向检查0的个数。 11             for(j=1;j<=m;j++)12             {13                 if(f[i][j]==1) 14                 {15                     temp=f[i-1][j-1];//检查左上方 16                     if(temp>=1 && temp+1>f[i][j])17                     {18                         for(k1=1;k1<=temp;k1++)//横向往左检查0的个数k1，最多为temp个 19                             if(f[i][j-k1]>=1) break;20                         for(k2=1;k2<=temp;k2++)//纵向往上检查k2…… 21                             if(f[i-k2][j]>=1) break; 22                         f[i][j]=k1
       
        =1 && temp+1>f[i][j])26                     {27                         for(k1=1;k1<=temp;k1++)28                             if(f[i][j+k1]>=1) break;//唯一不同是这里的j+k1而不是j-k1,因为是往右检查 29                         for(k2=1;k2<=temp;k2++)30                             if(f[i-k2][j]>=1) break;31                         f[i][j]=k1
        
         max) max=f[i][j];35             }36         }37         printf("%d\n",max);        38     }39     return 0;40 }
        
       
      

动态规划2:

暴力dp。

首先分类，fl[i,j]表示由左上开始的对角线到（i，j）为终点的最大长度，fr[i,j]为从右上开始的对角线到(i,j)为终点的最大长度。

可以观察到fl[i,j]可以从f[i-1,j-1]转移而来，fr[i,j]可由fr[i-1,j+1]转移而来，当转移完毕后，搜索以当前对角线长为边长正方形上该点的临边有没有鱼，如果有鱼，那么鱼到该点的距离为以该点为终点的对角线长。

1 #include
      
        2 #include
       
         3 #include
        
          4 using namespace std; 5 int a[2600][2600],fl[2600][2600],fr[2600][2600]; 6 int main(){ 7     int n,m; 8     cin>>n>>m; 9     for(int i = 1;i<=n;i++)10         for(int j = 1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[i][j]);11     memset(fl,0,sizeof(fl));12     memset(fr,0,sizeof(fr));13     for(int i = 1;i<=n;i++)//搜索fl14         for(int j = 1;j<=m;j++)15             if(a[i][j]){16                 fl[i][j] = fl[i-1][j-1]+1;17                 for(int k = 1;k